Grundlektionen
Bonuslektionen - Erst bearbeiten, wenn alles andere soweit sitzt. Nicht im Abschlusstest enthalten.

Bruchrechnung

Bruchrechnung

Viele Leute lernen Brüche in der Schule zu hassen. Das kann unterschiedlichste Gründe haben. In diesem Abschnitt möchte ich dich davon überzeugen, dass Brüche keine Monster, sondern deine Freunde sind!
Um dir direkt ein gutes Argument für Brüche zu liefern, fangen wir mit einer einfach Gleichung an:
$$ 10 \div 5 \cdot 2 = x $$
Wie lautet das Ergebnis dieser Gleichung? Ist es 4? Oder ist die Lösung 1? Wenn ich zunächst die Multiplikation ausführe, dann erhalte ich als Ergebnis 1.
Wenn ich jedoch zunächst dividiere und dann multipliziere, erhalte ich als Ergebnis 4.

Natürlich gibt es hierfür Rechenregeln. Aber eigentlich gehen die am Kern des Problems vorbei: Die Schreibweise ist nicht eindeutig genug.
Wir könnten nun Klammern setzen, um unsere Intention deutlich zu machen:
$$ ( 10 \div 5 ) \cdot 2 = x $$ $$ 10 \div (5 \cdot 2) = x $$
Aber ich glaube du stimmst mir zu, dass Klammern meistens eher nervig sind, insbesondere wenn sich viele Klammern in einem Term befinden.

Brüche bieten hier eine Alternative:
$$ \frac{10}{5\cdot 2} = x$$
$$ \frac{10 \cdot 2 }{5} = x $$
Es wird automatisch deutlich, was durch was geteilt werden soll.

Merke dir:

Brüche sind Divisionen, ohne dass man die Division ausrechnet!

Wenn du die Rechenregeln für Brüche kennst, wirst du merken, dass dir viele Rechnungen einfacher fallen werden, insbesondere im Kopf!

Multiplikation

Beginnen wir mit der einfachsten Rechenart von Brüchen, der Multiplikation:

Wenn du zwei Brüche multiplizierst, dann musst du einfach die Zahlen oben (Zähler) miteinander multiplizieren. Das Gleiche machst du auch mit den Zahlen unten (Nenner). Ein Beispiel:
$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3\cdot 2}{4\cdot 5} = \frac{6}{20} $$
Logischerweise funktioniert diese Rechenregel auch anders herum:
$$ \frac{3}{10} = \frac{3}{1}\cdot \frac{1}{10} = 3 \cdot \frac{1}{10} $$
Das kann manchmal hilfreich sein, insbesondere wenn du später Variablen in Brüchen haben solltest.

Hier ein kleines Quiz zur Multiplikation von Brüchen:

Division

ist genau so leicht wie die Multiplikation. Es gibt einen einfachen Trick, wodurch du die Division wie eine Multiplikation berechnen kannst. Du bildest von dem Bruch, durch den du teilst, den sogenannten Kehrwert.
Hierfür tauscht du einfach Zähler und Nenner eines Bruches. Ein Beispiel:
$$ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} $$
Wenn du eine Zahl hast, die kein Bruch ist, dann kannst du total einfach daraus ein Bruch machen, indem du durch 1 teilst:
$$ \frac{3}{5} \div 5 = \frac{3}{5} \div \frac{5}{1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5} $$
Solltest du mal einem Doppelbruch begegnen, dann denke dran, dass Brüche nur eine Schreibweise für Division sind. Beispiel:
$$ \frac{\frac{3}{11}}{5} = \frac{3}{11} \div 5 = \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{5}$$
Wenn du diese Rechenregel kennst, dann musst du quasi nie wieder dividieren (die nervigste Grundrechenart 🤮)!
Hier nun ein kleines Quiz:

Erweitern

Manchmal möchten wir Brüche in einer anderen Form schreiben. Das ist ohne Probleme möglich. Denk dran, Brüche sind einfach nur eine Division. Für Divisionen mit einem Ergebnis (Quotienten) von beispielsweise 2 gibt es unendlich viele Möglichkeiten.
So könnte man sowohl \(8\div 4\) rechnen, als auch \(16\div 8\). Wir wissen somit:
$$ \frac{8}{4} = \frac{16}{8} $$
Diesen Prozess, dass wir das Aussehen eines Bruchs ändern, nennt sich Erweitern eines Bruches. Mathematisch ist dies leicht erklärt. Wir dürfen jede Zahl mit der Zahl 1 multiplizieren, ohne dass sie ihren Wert ändert.
Die 1 können wir auch als ein Bruch schreiben, bei dem auf dem Zähler und Nenner die gleichen Ausdrücke stehen, denn wenn wir eine Zahl durch sich selbst teilen, erhalten wir als Ergebnis stets 1.
Wenn wir nun unsere Rechenregeln für die Multiplikation anwenden, ergibt sich:
$$ \frac{8}{4} = \frac{8}{4} \cdot 1 = \frac{8}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{8\cdot 2}{4\cdot 2} = \frac{16}{8} $$

Addition und Subtraktion

Damit wir Brüche addieren oder subtrahieren drüfen, müssen beide Brüche den gleichen Nenner haben. Unterhalb des Bruchsstrichs muss also der gleiche Ausdruck stehen.
Wenn das der Fall ist, dann dürfen die Zähler der Brüche einfach addiert (oder subtrahiert) werden. Der Nenner bleibt gleich.
$$ \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5+2}{3} = \frac{7}{3} $$
Sind die Nenner unterschiedlich, so müssen sie durch das oben angesprochene Erweitern gleich gemacht werden:
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1\cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} $$
In diesem Fall war es vermutlich relativ einfach zu sehen, dass sich der zweite Bruch mit der Zahl 2 auf Viertel erweitern lässt. Doch was kann man tun, wenn das nicht so einfach zu sehen ist?

Es gibt eine einfache Methode, wie man immer einen gleichen Nenner erreichen kann. Das mag zwar nicht immer der schönste und einfachste sein, aber wenigstens, es funktioniert!
Alles was du tun musst, ist die Brüche um den Nenner des anderen Bruches zu erweitern. Ein Beispiel:
$$ \frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} + \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{22}{15} $$
Das ganze funktioniert, wie oben angesprochen, auch mit der Subtraktion:
$$ \frac{3}{4} – \frac{1}{6} = \frac{18}{24} – \frac{4}{24} = \frac{14}{24} $$

Kürzen

Zu guter Letzt kann man Brüche auch wieder kürzen. Das Prinzip ist identisch zu dem des Erweiterns. Wenn ich sowohl im Zähler, als auch im Nenner einen gleichen Faktor finde, dann ist das das gleiche, als wenn ich mit der Zahl 1 multipliziere, weshalb ich diesen Faktor auch einfach weglassen kann.
$$ \frac{2}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$
In der Anwendung würden wir halt eher feststellen, dass sowohl 2, als auch 4 sich durch 2 teilen lassen. Diese Argumentation ist im Endeffekt die gleiche, wie die oben gezeigte.

Wenn du Brüche kürzen sollst, bietet es sich an, nacheinander Primzahlen (Und die 10) durchzuprobieren. Hier mal eine Beispielsvorgehensweise:

  1. Sind die Zahlen durch 10 teilbar? (Enden auf einer Null)
  2. Sind die Zahlen durch 5 teilbar? (Enden auf einer Null oder Fünf)
  3. Sind die Zahlen durch 2 teilbar? (Beides gerade Zahlen)
  4. Sind die Zahlen durch 3 teilbar? (Quersummen sind durch 3 teilbar!)
  5. Sind die Zahlen durch 7 teilbar? (Am besten das 1×7 gut beherrschen)
  6. Sind die Zahlen durch 11 teilbar? (Das 1×11 hat einfache Muster!)

Jetzt könnte man mit weitern Primzahlen weiter fortfahren, jedoch ist irgendwann der Nutzen des Kürzens bei solchen Zahlen fraglich. Ein zweischrittiges Beispiel:
$$ \frac{240}{90} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} $$

Quersummen

Da dieser Trick erfahrungsgemäß etwas weniger bekannt ist, möchte ich dir diesen Teilbarkeitstrick hier nochmal kurz erklären.
Die Quersumme einer Zahl ist die Summe all ihrer Ziffern. Du addierst einfach jede Ziffer einer Zahl:
$$ \text{Quersumme:}~123 = 1 + 2 + 3 = 6 $$
Der vermutlich nützlichste Trick mit der Quersumme ist die Tatsache, dass wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist, auch die Zahl durch 3 teilbar ist. Die Quersumme von 123 ist 6. Da sich die 6 durch 3 teilen lässt, lässt sich auch die 123 durch 3 teilen.