Zahlen umformen

Zahlen können in unterschiedlichen Schreibweisen vorkommen.
Du musst in der Lage sein, diese zu deuten und ineinander umzuformen.

Am bekanntesten sind und sollten sitzen:

• – Einheiten
• – Brüche
• – Prozentangaben

In diesem Abschnitt wirst Du lernen, wie das Umwandeln problemlos klappt.

Das Dezimalstellensystem

Zunächst noch einmal die Grundschulbasics:

Was bedeutet es, wenn ich z.B. 236 schreibe?
$$ 236 = 2\cdot 100 + 3\cdot 10 + 6\cdot 1 $$
Wir meinen damit Zweihundertdreißigundsechs.

Im Deutschen haben wir hierbei noch die Eigenheit, dass wir die Zehner und Einer sprachlich vertauschen.
Die dargestellte Zahl 236 nennen wir daher Zweihundertsechsunddreißig.

Exkurs: Zahlendreher

-> Die Vertauschung von Einer und Zehner kann sehr verwirrend sein und führt oft zu “Zahlendrehern”.

Falls Du damit Probleme haben solltest, kann folgende Methodik aus der Synästhesie hilfreich sein:
Verbinde jede Zahl mit einer Farbe!

Am bekanntesten ist hierbei die Farbskala nach Maria Montessori:

Und damit man sich das auch merken kann – hier ein kleines Memory 🙂

Das System, dass unsere zehn Ziffern eine unterschiedliche Bedeutung haben, je nachdem wie sie relativ zueinander stehen, nennt sich Dezimalstellensystem.
Wir wollen uns hier nicht im Detail verlieren, es soll nur kurz erwähnt sein, dass jede Stelle weiter links in ihrer Bedeutung um den Faktor 10 wächst.
Nach den Hundertern (100) kämen somit die Tausender (1000) usw.

Doch was ist mit Zahlen, die kleiner als 1 sind?
Hierfür benötigen wir Brüche!

Die Stelle rechts der Einerstelle sind die Zehntel (\(\frac{1}{10}\)), die Stelle rechts daneben die Hundertstel (\(\frac{1}{100}\)).
Das Muster setzt sich immer weiter so fort.

Wenn wir die Zahl nun aber einfach nur rechts anhängen, würden wir denken, dass es sich um die neue Einerstelle handelt.
Hierfür nutzen wir im Deutschen ein Komma, um die Einerstelle zu symbolisieren.
Punkte werden manchmal hingeschrieben, wenn man die Faktoren abgrenzen möchte: 230.000,75

Ein Beispiel:
$$ 28,43 = 2\cdot 10 + 8 \cdot 1 + 4\cdot \frac{1}{10} + 3\cdot \frac{1}{100} $$
Das mag zwar alles sehr trivial wirken, ist aber häufiger eine Fehlerquelle, als man denken würde.

Im Englischen nutzt man anstatt des Kommas einen Punkt -> dies ist eine häufige Fehlerquelle!
Achte daher immer darauf: gibt es bei einer Zahl Punkte und / oder Kommas. Falls ja – wofür stehen sie?

Kommaverschiebung:

Eine der wichtigsten praktischen Konsequenzen aus dem Dezimalstellensystem ist das Rechnen mit Vielfachen von Zehn.

Wenn Du mit einem Vielfachen von Zehn multiplizierst, so schiebst Du das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zahl Nullen hat.
Wenn Du dividierst, schiebst Du das Komma entsprechend nach links.
$$ 2354,56 \cdot 100 = 235456 $$
$$ 2354,56 \div 1000 = 2,35456 $$

Überprüfe dein Wissen in diesem Quiz:

Diese Tatsache macht man sich zu nutze in einer Schreibweise für Zahlen, die besonders gut sehr kleine und große Zahlen darstellen kann: Die wissenschaftliche Schreibweise.

Die wissenschaftliche Schreibweise

In der wissenschaftlichen Schreibweise verschieben wir das Komma soweit, dass es hinter der ersten Ziffer steht.
Da wir die Zahl vom Wert her ja aber nicht verändern wollen, schreiben wir die entsprechende Multiplikation (oder Division) mit dem Vielfachen von 10 mit.

So kann man die Zahl 635 schreiben als:
$$ 635 = 6,35 \cdot 100 $$
Das wirkt jetzt noch etwas umständlich, daher wandeln wir die 100 in ihre entsprechende Potenzschreibweise um.

Tipp: Der Exponent steht für die Anzahl der Nullen!

$$ 635 = 6,35 \cdot 10^2 $$
Diese Schreibweise ist bei besonders großen Zahlen sinnhaft:
$$ 65000000000 = 6,5 \cdot 10^{10} $$

Du verschiebst zunächst das Komma um eine Stelle nach rechts (65) und hängst anschließend noch die 9 weiteren Nullen an (oder Du verschiebst das Komma einfach weiter, je nachdem was Du dir einfacher vorstellen kannst!)

Doch wie geht das nun mit sehr kleinen Zahlen?
Hier dividieren wir mit einem Vielfachen von 10.
Da Division aber blöd ist, multiplizieren wir stattdessen einfach mit dem Kehrwert! (Siehe Brüche!)

$$ 0,026 = 2,6 \div 100 = 2,6 \cdot \frac{1}{100} $$
Auch hier können wir die Potenzschreibweise nutzen.

Der Nenner eines Bruches lässt sich durch ein negatives Vorzeichen im Exponenten darstellen:
$$ 2,6 \cdot \frac{1}{100} = 2,6 \cdot 10^{-2} $$

Alternativ merkst Du dir einfach, dass ein Minus im Exponenten bedeutet, dass wir das Komma nach links schieben müssen.

Überprüfe dein Wissen in diesem Quiz:

Vom Bruch zur Dezimalzahl

Von einer Dezimalzahl zu einem Bruch zu kommen ist relativ einfach.
Im Zweifel nimmst Du als Nenner einfach den Stellenwert der kleinsten Ziffer als Nenner und schreibst in den Zähler die Zahl ohne Komma:
$$ 2354,152 = \frac{2354152}{1000} $$

In diesem Beispiel ist die Zwei ganz rechts die Ziffer mit dem geringsten Stellenwert. Sie steht für die Tausendstel und eben jene verwenden wir einfach als Nenner.

Hier noch ein zweites Beispiel:
$$ 0,00234 = \frac{234}{100000} $$

Nun kannst Du noch häufig Kürzen, aber das ist oft nur die Kür.

Doch wie funktioniert das andersherum?
Denk dran, dass ein Bruch nur eine nicht berechnete Division ist. Wenn Du eben diese ausführst, kommst Du zur Dezimalzahl. Hierfür benötigst Du dann häufig die schriftliche Division.
Das soll an dieser Stelle jedoch nicht besprochen werden.

Lerne diese Brüche auswendig:

$$ \frac{1}{2} = 0,5 \hspace{3em} \frac{1}{3} = 0,\bar{3} \hspace{3em} \frac{1}{4} = 0,25 $$
$$ \frac{1}{5} = 0,2 \hspace{3em} \frac{1}{6} = 0,1\bar{6} \hspace{3em} \frac{1}{8} = 0,125$$
$$ \frac{1}{9} = 0,\bar{1} \hspace{3em} \frac{1}{10} = 0,1 \hspace{3em} \frac{1}{20} = 0,05 $$

Vielfache dieser Brüche erhältst Du auch entsprechend einfach, indem Du dir einfach das Komma wegdenkst (oder die wissenschaftliche Schreibweise nutzt ;)) und danach einfach multiplizierst.
$$ \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot 0,25 = 3 \cdot 25 \cdot 10^{-2} = 75 \cdot 10^{-2} = 0,75 $$
In dem Beispiel wurde das mal etwas ausführlicher dargestellt als Du es nachher im Kopf machen würdest.

#H5P – Abfrage der Brüche

Prozentangaben

Wir haben die Prozentrechnung bereits in der vorherigen Lektion besprochen, daher hier nur noch einmal eine kurze Wiederholung. Alles was Du eigentlich wissen musst:
$$ \% = \frac{1}{100} $$
Das Prozentzeichen ist einfach eine andere Schreibweise für den Bruch \( \frac{1}{100} \). Wenn Du Bruchrechnung gut beherrscht, dann kannst Du jetzt einfach das Ergebnis berechnen und fertig ist der Kram!

Alles was oben geschrieben steht gilt natürlich direkt auch für Prozentzahlen. So verschiebt das %-Zeichen das Komma einfach um zwei Stellen nach links.
$$ 24~\% = 24 \cdot \frac{1}{100} = 0,24 $$
Wenn Du eine Dezimalzahl zur Prozentzahl umformen willst, schiebst Du das Komma entsprechend einfach nach rechts.

Rechnen mit Prozenten war auch recht einfach.
Ein tolles Beispiel, um das zu zeigen: “Was sind 8 % von 25?”.
Schreiben wir das doch einfach mal als Gleichung auf:
$$ 8 \cdot \frac{1}{100} \cdot 25 $$

Multiplikation ist ja assoziativ und kommutativ. Das bedeutet, Du kannst dir die Reihenfolge der Rechnung komplett aussuchen und sogar die Faktoren einfach durchtauschen wie auch immer Du möchtest.

Hier wäre besonders elegant, die 25 mit dem Bruch zu verrechnen:
$$ 8 \cdot \frac{25}{100} = 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$
Das Ergebnis ist einfach 2.

Tipp zum schnellen Rechnen:
Erinnere dich: “Du darfst das Prozentzeichen einfach umstellen”.

Dann wäre die Aufgabe transformiert worden zu
“Was sind 25 % von 8?”,
eine Aufgabe die viele einfacher lösen können.

Nutze diese Denkweise gerne!

#H5P mit mind. 5 Übungsaufgaben 

SI-Einheiten umrechnen

An dieser Stelle wollen wir bereits einen kleinen Exkurs zu den sogenannten SI-Einheiten machen, insbesondere zum Vorsilbensystem (Präfixe).

Du kennst sicher Einheiten wie Kilometer, Zentimeter, Millimeter. Doch was bedeutet die Vorsilbe eigentlich?
Jede Vorsilbe steht einfach für eine Zahl (die ein Vielfaches von Zehn ist)!
Diese werden mal wieder in Potenzschreibweise geschrieben (siehe wissenschaftliche Schreibweise).

Wie Du aus der Tabelle entnehmen kannst, steht die Vorsilbe Kilo- einfach nur für \( 10^3 \), bzw. 1000.

Ich kann diese Vorsilben nun auch einfach durch die entsprechende Zahl ersetzen:
$$ 23~\text{km} = 23 \cdot 10^3~\text{m} = 23000~\text{m} $$

Oder noch ein weiteres Beispiel mit einer kleinen Einheit:
$$ 62~\text{cm} = 62~\cdot 10^{-2}~\text{m} = 0,62~\text{m} $$

Wie rechne ich nun die Einheiten ineinander um?
Die vermutlich einfachste Variante, da wir es ja mit Vielfachen von Zehn zu tun haben, ist das Zählen der gesamten Kommaverschiebung:

Wenn ich von Kilometer (\(10^3\)) auf Zentimeter (\(10^{-2}\)) umrechnen möchte, dann beträgt die Differenz der Kommaverschiebung 5 Stellen nach rechts.

Mathematisch erklärbar ist das mit den Potenzrechenregeln:
$$ 10^3 – 10^{-2} = 10^{3-(-2)} = 10^5 $$
Aus 12 Kilometer werden somit 1200000 Zentimeter.

Wenn Du Probleme mit dieser Methode haben solltest, gibt es auch noch die Möglichkeit das ganze rein mathematisch zu machen. Hier “erweiterst” Du einfach deine Zahl mit dem benötigten Präfix, wie du es auch in der Bruchrechnung machen würdest:
$$ 12~\text{km} = 12000~\text{m} = 12000 \cdot \frac{10^{-2}}{10^{-2}}~\text{m} = \frac{12000}{10^{-2}} \cdot 10^{-2}~\text{m} = 1200000~\text{cm} $$

Vermutlich wird dir aber mit etwas Übung die erste Methode etwas leichter fallen.

Zusammengesetze Einheiten umrechnen

Das ganze Funktioniert natürlich auch mit zusammengesetzten Einheiten. Hier soll das Ganze einfach nur an einem typischen Beispiel gezeigt werden und anschließend auf eine häufige Fehlerquelle hingewiesen werden.

Wie kommen wir von Kilometern pro Stunde auf Meter pro Sekunde? Angenommen unser Auto fährt 50 km/h, woher weiß ich dann, wie viele m/s es fährt?
Für dieses konkrete Beispiel wirst Du definitiv einfach später den Umrechnungsfaktor wissen.
Doch wie kommen wir von selbst darauf (für Beispiele, wo Du den Umrechnungsfaktor nicht auswendig gelernt hast)?

Eigentlich ist es relativ einfach: Wir wandeln die Einheiten um und verrechnen dabei die Präfixe zu einem einzelnen Umrechnungsfaktor.

Wenn das kompliziert klingt keine Angst, das Beispiel wird es hoffentlich deutlich machen:
$$ \frac{km}{h} = \frac{1000 \cdot m}{60 \cdot min} = \frac{1000 \cdot m}{60 \cdot 60 \cdot s} = \frac{1000 \cdot m}{3600 \cdot s} = \frac{1000}{3600}~\frac{m}{s} = \frac{1}{3,6}~\frac{m}{s}$$

Der Bruch sieht etwas hässlich aus, so dass wir uns normalerweise hier das mit einer Division und nicht mit der Multiplikation mit einem Bruch merken (durch 3,6 teilen).
Die Umwandlung in die andere Richtung erfolgt daher übrigens einfach mit der Multiplikation von 3,6.

Hier noch die versprochene Warnung: Einheiten für Volumina und Flächen sind auch zusammengesetzte Einheiten!
$$ 2~cm^2 = 2~cm\cdot cm = 2 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-2}~ m \cdot m = 2\cdot 10^{-4}~m^2 = 0,0002~m^2 $$

Übungsaufgaben zu SI-Einheiten wirst Du im Physik-Kurs machen.