Wurzeln
Was machen Wurzeln?
Wurzeln beschreiben die Umkehrung vom Potenzieren.
Bei der Potenz haben wir uns gefragt, was für ein Potenzwert dabei rauskommt, wenn wir eine Basis, Exponenten-mal sich selbst nehmen würden.
Als Gleichung würde man das so schreiben:
$$textrm{Potenzwert} = textrm{Basis}^{textrm{Exponent}}$$
Bei der Wurzel fragen wir uns: Was ist nun eigentlich die Basis, wenn wir nur den Potenzwert und den Exponenten kennen?
Dafür müssen wir diese Gleichung umformen.
Dann kennen wir glücklicherweise tatsächlich schon einen Weg und zwar
das Potenzgesetz über das Potenzieren von Potenzen: $$(x^{m})^{n} = x^{m cdot n}$$
Diese Potenzregel besagt, dass das Potenzieren einer Potenz dasselbe ist wie die Multiplikation der Exponenten.
Nun wollen wir die Basis x auf der rechten Seite herausfinden.
Das bedeutet, dass nach dem Anwenden des Gesetzes der Exponent 1 ergeben muss.
Dem Potenzgesetz folgend bedeutet das also, dass wir mit dem Kehrwert des Exponenten potenzieren müssen.
Als Gleichung würde das folgendermaßen aussehen:
$$textrm{Potenzwert}^{frac{1}{textrm{Exponent}}} = textrm{Basis}^{frac{textrm{Exponent}}{textrm{Exponent}}} Leftrightarrow textrm{Potenzwert}^{frac{1}{textrm{Exponent}}} = textrm{Basis}^{1}$$
Eine Wurzeloperation ist also nur eine Potenz mit einem Bruch!
Lass uns das mal mit Variablen beschreiben und nicht mit Text.
Unser Potenzwert ist a, unsere Basis x und unser Exponent ist n:
$$a^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{a} = x $$
Schreibweise:
Nun können wir auch die Wurzel-Schreibweise klären.
Du siehst in der Rechnung die beiden Darstellungsformen einer Wurzel: einmal als Potenz und einmal mit der häufiger benutzten Wurzel-Schreibweise.
Das, was Du vor dir siehst, ist eine allgemeine Wurzel zur n-ten Potenz.
Man sagt auch häufig dazu es ist die n-te Wurzel von a.
Wenn n = 2 ist, nennt man die Wurzel die quadratische Wurzel.
Sehr häufig wird bei einer quadratischen Wurzel die 2 weggelassen:
$$a^{frac{1}{2}} = sqrt[2]{a} = sqrt{}{a} $$
All diese Schreibweisen bedeuten dasselbe.
Lass dich also davon nicht verwirren 🙂
Die Wurzelrechengesetze:
Da die Wurzel nur eine Potenz ist, folgen natürlich alle Rechengesetze sofort aus den Potenzgesetzen
-> in dem die Potenz durch einen Bruch ersetzt wird.
Es gibt 5 Wurzelgesetze, die wir nun durchgehen:
1) Produkt von Wurzeln mit unterschiedlichen Basen:
Diese Regel folgt sofort aus dem 6-ten Potenzgesetz:
Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichen Exponenten
$$sqrt[n]{a} cdot sqrt[n]{b} = a^{frac{1}{n}} cdot b^{frac{1}{n}} = (a cdot b)^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{a cdot b} $$
Merke dir:
Das Produkt zweier Wurzeln mit demselben Exponent, kann zusammengefasst werden als die Wurzel des Produktes beider Basen.
Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:
2) Quotient von zwei Wurzeln mit unterschiedlichen Basen:
Wir können hier ebenfalls dasselbe Gesetz wie zuvor verwenden:
$$frac{ sqrt[n]{a} }{ sqrt[n]{b} } = frac{ a^{frac{1}{n}} }{ b^{frac{1}{n}} } = (frac{ a }{ b })^{ frac{1}{n} } = sqrt[n]{frac{a}{b}} $$
Merke dir:
Das Produkt zweier Wurzeln mit demselben Exponent, kann zusammengefasst werden als die Wurzel des Produktes beider Basen.
Ok – das ist der gleiche Satz wie unter 1). Abgefahren aber war – der stimmt für beide Gesetze 🙂
Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:
3) Wurzeln von Wurzeln:
Diese Rechenregel ist die Wurzelversion des 5-ten Potenzgesetzes “Potenzieren von Potenzen”:
$$sqrt[m]{sqrt[n]{a}} = (a^{frac{1}{n}})^{frac{1}{m}} = a^{frac{1}{m cdot n}} = sqrt[m cdot n]{a}$$
Merke dir:
Wenn man eine Wurzel n-ten Grades anwendet auf eine Wurzel m-ten Grades, dann ist das Gesamtprodukt eine Wurzel mit Grad m mal n.
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4) Negative Wurzel:
Da Wurzeln nicht weiter sind als Potenzen, kann man mit negativen Wurzeln genauso umgehen wie im Potenzgesetz Nr.4:
$$sqrt[-m]{a} = a^{frac{-1}{m}} = frac{1}{a^{frac{1}{m}}} = frac{1}{sqrt[m]{a}}$$
Merke dir:
Du kannst Zähler und Nenner von Wurzeln vertauschen, indem Du das Vorzeichen beim Grad mal Minus 1 nimmst.
5) Bei gleicher Basis, aber unterschiedlichen Exponenten:
Dieses Gesetz wird so gut wie nie verwendet, aber wir wollen alles vollständig haben.
Es folgt direkt aus der Anwendung des 1-ten Potenzgesetzes.
Es beschreibt, was denn nun bei dem Produkt von Wurzeln mit gleicher Basis, aber unterschiedlichen Exponenten passiert:
$$sqrt[m]{a} cdot sqrt[n]{a} = a^{frac{1}{m}} cdot a^{frac{1}{n}} = a^{frac{1}{n} + frac{1}{m}} = a^{frac{m+n}{m cdot n}} = sqrt[m cdot n]{a^{m + n}} $$
Wurzeln im Kopf berechnen:
Es gibt wenige Zahlen, von denen ihr die Wurzel auswendig kennen solltet.
In der Regel wird von euch erwartet, dass ihr die Wurzel von den ersten 20 Quadratzahlen wisst.
Ebenfalls wird von euch erwartet, dass ihr den Wert von der Wurzel von 2 kennt.
Mach dir daher bitte die Mühe und lern das auswendig!
Es spart dir sehr viel Rechenzeit beim HAM-Nat, wenn Du das weißt.
Hier eine kleine Tabelle mit Werten, die ihr kennen solltet:
| Zahl | Wurzel |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
| 25 | 5 |
| 36 | 6 |
| 49 | 7 |
| 64 | 8 |
| 81 | 9 |
| 100 | 10 |
| 121 | 11 |
| 144 | 12 |
| 169 | 13 |
| 196 | 14 |
| 225 | 15 |
| 256 | 16 |
| 289 | 17 |
| 324 | 18 |
| 361 | 19 |
| 400 | 20 |
| 2 | 1,414213562 |
| 5 | 2,236067977 |
Für alle anderen Zahlen gibt es eine immer anwendbare Methode, die sich in 2 Schritte unterteilen lässt.
In dieser Methode wird zuerst die Zahl durch Anwenden der Wurzelgesetze so weit vereinfacht, dass man mit der Tabelle einen Großteil der Wurzel sofort ausrechnen kann.
Von dem Rest kennen wir nicht den genauen Wert, also wird er abgeschätzt.
Lass uns diese Methode mal anhand der Wurzel von 112 verdeutlichen.
Schritt 1: Vereinfachen
Wir versuchen in diesem Schritt die Zahl, also die 112, in ganze Vielfache zu spalten.
Der Trick ist nun, dass wir von diesen Vielfachen die Wurzel kennen:
$$ sqrt{112} = sqrt{4 cdot 28} = sqrt{4 cdot 4 cdot 7} = sqrt{4} cdot sqrt{4} cdot sqrt{7} = 4 cdot sqrt{7}$$
Am Ende benutzen wir die Produktregel für Wurzeln.
Daher wir können von allen Produkten die Wurzel separat ziehen und von 4 kennen wir die Wurzel.
Schritt 2: Abschätzung
Nun müssen wir den Wert der Wurzel von 7 abschätzen.
Wurzeln abschätzen passiert immer auf demselben Weg, und zwar durch Intervallschätzung.
Bei dieser Methode versuchen wir erst einmal eine Ober- und Untergrenze zur Wurzel von 7 zu finden.
Dazu fragen wir uns, welche Zahl X hoch 2 ist kleiner und welche Zahl Y hoch 2 ist größer als 7.
In unserem Fall ist 2 hoch 2 kleiner und 3 hoch 2 größer.
Das heißt also, der Wert von der Wurzel von 7 befindet sich zwischen 2 und 3.
Wir versuchen nun diese Grenzen zu verschieben:
Wir erhöhen die Zahl der Untergrenze und verkleinern die Zahl von der Obergrenze, bis wir mit der jeweiligen Zahl die 7 überschreiten.
Das klingt alles etwas mühselig, aber mit ein wenig Erfahrung achtet man z. B. darauf, dass die 2 hoch 2 recht weit von der 7 entfernt ist.
Man sollte also etwas später anfangen z.B. von 2.5 anstelle von 2.
Anhand unserer Rechentabelle sehen wir, dass die Wurzel von 7 zwischen 2,6 und 2,7 liegen muss.
Nun wird genau getan wie zuvor auch, nun jedoch mit der nächstliegenden Kommastelle:
| Zahl | 2,6 | 2,61 | 2,62 | 2,63 | 2,64 | 2,65 | 2,66 | 2,67 | 2,68 | 2,69 |
| Quadratzahl | 6,76 | 6,8121 | 6,8644 | 6,9169 | 6,9696 | 7,0225 | 7,0756 | 7,1289 | 7,1824 | 7,2361 |
Jetzt sehen wir, dass die Wurzel von 7 zwischen 2,64 und 2,65 liegen muss.
Diesen Prozess muss man nun immer weiter verfeinern.
Tatsächlich rechnet genauso unser Taschenrechner bzw. so tun die Taschenrechner es, wenn sie eine Wurzel nicht eingespeichert haben.
In der Realität benötigen wir meist das Ergebnis unserer Wurzel nur auf 2 Kommastellen genau.
Mit dieser Näherung ist die Wurzel von $$ sqrt{112} approx 4 cdot 2,64 = 10,56$$
Mit dieser schrittweisen Herangehensweise kannst Du alle Wurzeln berechnen!
Probier es doch mal aus 🙂
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