Potenzieren

Wieso gibt´s überhaupt Potenzen?

Für uns sind Potenzen einfach nur superpraktisch,
da sie eine kurze, prägnante und klare Schreibweise besitzen.
Vor allem, wenn es um die wissenschaftliche Schreibweise geht.

Wie in der Einleitung schon geschrieben:
Die erste Rechenoperationen, die in der Schule gelernt werden, sind die Addition und die Subtraktion.

Das mehrfache Addieren derselben Zahl ist ein Spezialfall, dem wir den Namen Multiplikation geben.
Jede Multiplikation lässt sich als Kette von Summen mit derselben Zahl darstellen.

Bei Potenzen wiederholt man diesen Vorgang im Grunde:
Es wird gefragt, was passiert, wenn man dieselbe Zahl nun öfter mal sich selbst nimmt.

Merke dir:
– Potenzieren ist wirklich nur ein Spezialfall der Multiplikation.
– Alle Potenzen können immer als Kette von Multiplikationen aufgeschrieben werden.

Schreibweise

Eine Potenz besteht aus zwei Bestandteilen: der Basis und dem Exponenten.

Potenzgesetze

Wir leiten nun alle Gesetze Schritt für Schritt her und dass nur mit unserem Wissen über Multiplikation und Division. Abgefahren, oder?! 🙂

Der Aufbau sieht dabei immer so aus:
1. Name des Gesetzes
2. Strukturelle Erklärung anhand der Formel
3. Erklärung anhand eines Beispiels

Tipp:
Ohne Verständnis von Brüchen und Variablen wird das hier nix.
Schau dir also zuerst das Thema zu Brüchen an, bevor Du hier startest!

Produktregel

Merke dir:
Wenn die Basis gleich ist und sich nur die Exponenten unterscheiden,
dann ist die Multiplikation beider Potenzen einfach die Basis
potenziert mit der Summe beider Exponenten.

Tipp zum Rechnen mit der Produktregel:
Damit Du keine Fehler mit den Vorzeichen bei den Potenzen machst:
Verwende Klammern!!

Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:

Quotientenregel

Merke dir:
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten voneinander abgezogen.

Tipps zum Rechnen mit der Quotientenregel:

1. Achte auf das Vorzeichen – durch das Minus dreht sich alles um!
2. Bei Vereinfachungen kannst Du auch erst mit der Produktregel starten und dann die Quotientenregel anwenden.
3. Verwende Klammern! Dann passieren keine Fehler

Hier ein Beispiel:

$$ frac{x^{10} y^{-5} x^{2}}{x^{12} y^{-3}} underbrace{=}_{Produktregel}  frac{ x^{10 + 2} y^{-5} }{ x^{12} y^{-3} } underbrace{=}_{Quotientenregel} x^{12 – (12)} y^{-5 – (-3)} = x^{0} y^{-2} $$

Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:

Spezialfall der Quotientenregel

Jetzt haben wir uns 2 mächtige Werkzeuge hergeleitet, um Potenzen zu beschreiben. Was passiert nun eigentlich bei der Quotientenregel, wenn m und n die gleiche Zahl sind? Also m = n gilt? Wir benutzen wieder ein Zahlenbeispiel (x = 2, m = 1 = n)

$$ frac{2^{1}}{2^{1}} = 2^{1-1} = 2^{0}$$

Huch, was ist den 2 hoch 0 für eine Zahl? Lass uns das mal direkt über Multiplikation und Kürzen lösen:

$$ frac{2^{1}}{2^{1}}  = frac{2}{2} = frac{1}{1} = 1 $$

Spezialfall der Quotientenregel: m = 0, n > 0

$$ x^{-m} = frac{1}{x^{m}} $$.

Die Quotientenregel ermöglicht es uns negative Potenzen zu erhalten. Doch was sind den nun negative Potenzen? Diese Frage lässt sich besonders gut beantworten in dem wir in der Quotientenregel m = 0 setzen. Rechnen wir wieder mit Zahlen, x = 2, m = 0 und n = 1.

$$frac{x^{m}}{x^{n}} longrightarrow frac{2^{0}}{2^{1}} = 2^{0-1} = 2^{-1} $$

Wir können diese Rechnung auch anders angehen, weil wir ja schon dank Regel 3 wissen, dass 2 hoch 0 dasselbe ist wie 1:

$$frac{2^{0}}{2^{1}} = frac{1}{2^{1}} = 2^{-1}$$.

Negative Potenzen sind also nicht weiter als eine Division mit der Potenz!

Rechnen mit negativen Potenzen:

Aus dieser Regel folgt ein wirklich nützlicher Umformungsrechentrick. Man kann damit nämlich Zähler und Nenner vertauschen.

$$frac{y^{5}}{(1+2x-3x^2)^{-2}} = frac{(1+2x-3x^2)^{2} }{y^{-5}}$$.

Das kann einem längeres Umformen ersparen, wird aber meistens nur benötigt, um z.B. Terme so umzuformen, damit man sie leichter mit anderen Mitteln verarbeiten kann, z.B. damit man Sie leichter integrieren oder ableiten kann.

Potenzieren von Potenzen

$$ (x^{m})^{n} = x^{m cdot n}$$

Was passiert eigentlich, wenn wir eine Potenz potenzieren?
Also z.B. 2 hoch 3 hoch 4 ausrechnen wollen?

Schreiben wir es doch einfach mal aus:
Im Grunde sagt die Potenz ja, dass wir 2 hoch 3 viermal sich selbst nehmen müssen, als Rechnung sähe das so aus:
$$ (2^{3})^{4} = 2^{3} cdot 2^{3} cdot 2^{3} cdot 2^{3} $$

Wenn wir die Gleichung so aufschreiben, dann gilt doch wieder unser Gesetz Gesetzt Nr.1, also das Produktgesetz:

$$ (2^{3})^{4} = 2^{3} cdot 2^{3} cdot 2^{3} cdot 2^{3} underbrace{=}_{Produktgesetz} 2^{3 + 3 + 3 + 3} = 2^{4 cdot 3} $$

Merke: Beim Potenzieren von Potenzen werden also einfach die Exponenten miteinander multipliziert

Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:

Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichen Exponenten

$$m^a cdot n^a = (m cdot n)^{a}$$

Wir gingen derzeitig immer davon aus, dass die beiden Potenzen, die wir miteinander verrechnet haben, dieselbe Basis haben.
Was passiert nun eigentlich, wenn dieses Mal nicht der Fall ist?
Also, wenn Sie nicht die selbe Basis haben, sondern nur die Potenz gleich ist?

Lass und das ganz wieder mit Zahlen an gehen: m = 3, n = 4 und a = 2:

$$ m^{a} cdot n^{a} longrightarrow  3^{2} cdot 4^{2} = 3 cdot 3 cdot 4 cdot 4 underbrace{=}_{textrm{umsortieren}} 3 cdot 4 cdot 3 cdot 4 = (3 cdot 4)^{2} $$

Merke: Bei Potenzen mit gleichen Exponenten, aber unterschiedlichen Basen, kann man beide Basen in Klammern miteinander multiplizieren und davon dann die Potenz bilden.

Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:

Das waren alle Potenzgesetze.
Wie Du gesehen hast, konnten wir alle Gesetze herleiten und das nur über simple Multiplikation. Falls dir mal ein Gesetz nicht einfällt, schreib dir die Potenz als Kette von Multiplikationen auf und kürze!

Anmerkung: Du kannst die Potenzgesetze beliebig miteinander kombinieren.
Das ist der kreative Part beim Umformen!

Hier mal ein Beispiel dafür:

$$ frac{x^{m} cdot x^{-10} cdot y^{5} }{y^{-5} cdot x^{2}} underbrace{=}_{textrm{sortieren}} frac{x^{m}cdot x^{-10} }{x^{2}}  cdot frac{y^{5}}{y^{-5}}$$