Logarithmen
Logarithmen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Logarithmen. Fangen wir nun einmal Schritt für Schritt an, wo sich die Logarithmen anschließen und welche Erkenntnisse wir daraus gewinnen können. 🙂
Motivation:
Wir haben jetzt das Potenzieren kennengelernt:
$$textrm{Potenzwert} = textrm{Basis}^{textrm{Exponent}}$$.
… und auch, wie wir das Ganze wieder umkehren können, um herauszufinden, was die Basis ist.
$$textrm{Potenzwert}^{ frac{1}{textrm{Exponent}} } = sqrt[textrm{Exponent}]{textrm{Potenzwert}} = textrm{Basis} $$.
Nun hat man aber manchmal den Fall, dass wir den Potenzwert kennen (z.B. aus einer Messung) und auch die Basis wissen, weil wir ja wissen, was wir gerade messen. Nun wollen wir herausfinden, mit welchem Exponenten diese wächst.
Wir wollen also den Exponenten bei gegebener Basis und gegebenem Potenzwert herausfinden.
Die Funktion die uns das ermöglicht ist der Logarithmus:
$$log_{textrm{Basis}}{ (textrm{Potenzwert}) } = textrm{Exponent}$$.
Schreibweise
Die Schreibweise zum Logarithmus lässt sich einfach herleiten, indem wir wieder die Namen mit Variablen ersetzen:
– die Basis ist x
– der Potenzwert ist a
– der Exponent ist n
$$log_{textrm{x}}{ (textrm{a}) } = textrm{n} $$.
Das ist die grundlegende Rechenoperation, die ein Logarithmus ausführt.
Einige bezeichnen es auch als die Definition des Logarithmus.
Merke dir
Mit dem Logarithmus stellen wir fest, mit welchem Exponenten eine Basis potenziert werden muss, um den bekannten Potenzwert zu erhalten.
Du siehst also: der Logarithmus ist wieder nur das Potenzieren, mit dem Fokus auf eine andere Größe, die man ermitteln möchte.
Da Logarithmieren auf dem Potenzieren fußt, folgen natürlich alle Rechenregeln direkt wieder aus den Potenzgesetzen.
Besondere Schreibweisen
Es gibt 2 Basen, die wegen ihrer häufigen Nutzung eine abkürzende Schreibweise bekamen:
Der Logarithmus zur Basis e wird z.B. Logarithmus Naturalis genannt. Dieser taucht gerade in der Physik überall auf, um statistische Prozesse zu beschreiben.
Der Logarithmus zur Basis 10 wird dekadischer Logarithmus genannt. Dieser wird bei der wissenschaftlichen Schreibweise verwendet, um Größenordnungen zu beschreiben.
$$ log_{e}{(x)} = ln{(x)}, log_{10}{(x)} = lg{(x)} $$
Rechnen mit dem Logarithmus
Wie rechnest Du nun explizit den Logarithmus von einer Zahl aus?
Das Prozedere ist eigentlich immer dasselbe:
Man benutzt die Potenzschreibweise des Logarithmus.
Wenn z.B. nach dem Logarithmus von 8 zur Basis 2 gefragt wird, dann formulierst Du dies als Potenz um:
$$ log_{2}{ (8) } = n Leftrightarrow 2^{n} = 8 $$
Der Logarithmus liefert uns doch nur den Exponenten n. Jetzt können wir einfach Zahlen einsetzen und sehen, wann die Potenz den Wert 8 erreicht.
Dies ist wirklich ein Ausprobieren von Zahlen! 😉
Nach kurzem rumprobieren sehen wir, dass der Exponent 3 sein muss. Somit ist der Logarithmus von 8 zur Basis 2 gleich 3.
Spezialfall
Ein Spezialfall stellt der Potenzwert = 1 dar. Der Logarithmus ist dann immer 1, unabhängig von der Basis.
$$ log_{210}{ (1)} = n Leftrightarrow 210^{n} = 1 rightarrow n = 0 $$
Wenn ihr einen Zahlenwert habt, den ihr als einen Bruch mit Potenzen darstellen könnt, dann wird euer Logarithmus einen negativen Wert haben:
$$ log_{5}{ (frac{1}{25}) } = n Leftrightarrow 5^{n } = frac{1}{25} = frac{1}{5^{2}} = 5^{-2} rightarrow n = -2 $$
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Rechenregeln
Rechenregeln:
Was ist nun, wenn Du Potenzen oder Multiplikationen in dem Logarithmus hat?
Glücklicherweise gibt es dafür Rechengesetze, welche erneut direkt aus den Potenzgesetzen folgen.
– Das Potenzgesetz wird dazu direkt angewendet und darauf wird auf beiden Seiten der Gleichung ein Logarithmus zur angebenden Basis angewendet.
– Der nächste Schritt ist das Ersetzen der Potenzen durch eine Variabel, u und v. Das sind Platzhalter für irgendeinen beliebigen Zahlenwert.Lasst es uns einmal als Gleichung nachvollziehen:
1. Logarithmus eines Produktes:
$$ log_{a}{ ({u} cdot {v}) } = log_{a}{ (u) } + log_{a}{ (v) } $$
Der Logarithmus von Produkten ist dasselbe wie die Summe von Logarithmen. Das ist super praktisch, weil man damit Multiplikationen in Additionen verwandeln kann, was z.B. beim Berechnen von sehr präzisen Messungen notwendig wird.
2. Rechnen mit dem Logarithmus von Produkten:
Dieses Gesetz wird hauptsächlich zum Umwandeln von Multiplikationen zu Summen verwendet. Das Tolle ist, dass es egal ist, wie viele Multiplikationen sich im Logarithmus befinden.
$$ log_{a}{ (x cdot y cdot z) } = log_{a}{(x)} + log_{a}{(y)} +log_{a}{(z)} $$
Man kann diese Rechenregel aber auch verwenden, um Logarithmen zu vereinfachen.
Dazu wird die Zahl im Logarithmus schrittweise durch eine Potenz der Basis dividiert und dann die Potenzregel angewendet:
$$ log_{2}{(2048)} = log_{2}{(256 cdot 2^{3})} = log_{2}{(256)} + underbrace{log_{2}{(8)}}_{3}$$
Du kann diesen Schritt beliebig oft wiederholen, bis kein Vielfaches mehr von der Basis da ist.
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Herleitung
Logarithmus eines Produktes
Zur Herleitung vom Logarithmus eines Produktes benutzen wir das 1. Potenzgesetz:
$$ a^{m} cdot a^{n} = a^{m + n} underbrace{Leftrightarrow}_{textrm{Log zur Basis a anwenden}} log_{a}{ (a^{m} cdot a^{n}) } = log_{a}{ (a^{m + n}) } $$
Nun können wir bei der rechten Seite den Logarithmus anwenden, weil a nun hoch m+n ist und wir schon wissen, wie man von solchen Potenzen den Logarithmus nimmt:
$$ log_{a}{(a^{m} cdot a^{n})} = m + n$$
Vergesst nicht, wir versuchen unserer neuen Funktion, dem Logarithmus, nun eine Bedeutung zu geben.
Deswegen ersetzen wir nun die Zahlen m und n durch Logarithmus Äquivalente bzw. wir ersetzen die Potenzen durch eine allgemeine Variabel
$$ a^{m} = u , a^{n} = v underbrace{Leftrightarrow}_{textrm{Anwenden des Logarithmus zur Basis a}} m = log_{a}{(u)}, n = log_{a}{(v)} $$
Das Einsetzen liefert uns das 1. Logarithmus Gesetz:
$$ log_{a}{(a^{u} cdot a^{v})} = m + n = log_{a}{ (u) } + log_{a}{ (v) }$$
Division zweier Logarithmen
$$ log_{a}{ (frac{ {u} }{ {v} }) } = log_{a}{ (u) } – log_{a}{ (v) }$$
Der Logarithmus eines Bruches ist also nichts weiter als die Subtraktion des Logarithmus des Zählers vom Logarithmus des Nenners.
Quotientenregel
Rechnen mit der Quotientenregel
Das Rechnen mit dieser Logarithmusregel ist exakt gleich wie bei der Produktregel. Du kannst beide Regeln auch beliebig kombinieren beim Rechnen.
$$ log_{6}{ (frac{x cdot y}{36cdot z}) } underbrace{=}_{2. Regel} log_{6}{ (x cdot y) } – log_{6}{ (36) cdot z} underbrace{=}_{1. Regel} log_{6}{ (x) } + log_{6}{ (y) } – underbrace{log_{6}{ (36) }}_{6} – log_{6}{ (z) } $$
Tipp:
Wie Du sehen kannst, musst Du zuerst den Bruch los werden und dann kannst Du wie gewohnt weiter rechnen.
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Herleitung der Quotientenregel
Die Herleitung dieser Regel ist exakt dieselbe wie bei der Produktregel.
Es wird lediglich die Produktoperation durch einen Bruch ersetzt und anstelle des 1. Potenzgesetzes wird das 2. Potenzgesetz verwendet.
Deswegen ist die Herleitung hier etwas knapper formuliert:
$$ frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m – n} underbrace{Leftrightarrow}_{textrm{Log zur Basis a anwenden}} log_{a}{ (frac{a^{m}}{a^{n}}) } = log_{a}{(a^{m – n})} = m – n $$
Zur Erklärung: m und n wird wieder durch unsere Herleitung ersetzen und das führt uns zur Quotientenregel für Logarithmen.
Merke dir:
Du siehst, man muss sich beim Logarithmus eigentlich nur die 1. Regel merken, weil die 2. Regel sofort daraus folgt.
Logarithmus einer Potenz
Der Logarithmus einer Potenz siehst Du in der folgenden Formel:
$$ log_{a}{(u^{ v })} = v cdot log_{a}{ (u) } $$
Die letzte Logarithmusrechenregel beantwortet also die Frage, was mit Potenzen innerhalb eines Logarithmus passiert:
Der Exponent kann als Multiplikation herausgezogen werden. Das ist eine sehr praktische Rechenregel, da sie uns erlaubt den Logarithmus zu vereinfachen.
Rechnen mit der Potenzregel:
Die Potenzregel des Logarithmus bringt uns ein sehr mächtiges Werkzeug, weil in der Natur sehr häufig Potenzgesetze auftauchen.
Lasst mich das Prinzip an der Gleichung für den Schalldruckpegel aus der Akustik verdeutlichen.
Die Formel wird als Verhältnis des Schalles p zu einem Bezugsschall angegeben. Weil der Schall sich kugelförmig ausbreitet, nimmt sein Druck quadratisch mit dem Abstand r ab.
Dieses Quadrat kann man aber Dank der Potenzregel herausschreiben:
$$ 10 log_{10}{( frac{p^2}{p_{textrm{Bezug} }^{2} } )} = 10 log_{10}{(( frac{p}{p_{textrm{Bezug} } })^{2} )} underbrace{=}_{text{Log. Potenzregel}}= 20 log_{10}{( frac{p}{p_{textrm{Bezug} }} )} $$
Damit wurde die Rechnung vereinfacht, da nun nicht noch zusätzlich das Quadrat der einzelnen Werte im Logarithmus berechnet werden muss.
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Herleitung:
Die Methodik bleibt exakt gleich, wir verwenden nur erneut ein anderes Potenzgesetz. Dieses Mal starten wir von der Potenz einer Potenz:
$$ (a^{m})^{n} = a^{m cdot n} underbrace{Leftrightarrow}_{textrm{Log zur Basis a anwenden}} log_{a}{ (({a^{m}})^{n} ) } = log_{a}{ (a^{m cdot n}) } = m cdot n $$
$$ a^{m} = u underbrace{Leftrightarrow}_{textrm{Anwenden des Logarithmus zur Basis a}} m = log_{a}{ (u) } textrm{ und } n = v $$
Beides eingesetzt führt uns zum Potenz-Logarithmusgesetz.
Wir würden uns sehr freuen, wenn Du uns ein Feedback zu diesem Abschnitt gibst 🙂
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