Zuordnungen

Zuordnungen

Wenn wir uns einen Sachkontext anschauen, so betrachten wir meistens sogenannte Größen.
Das könnten zum Beispiel das Volumen, die Masse, Geld, Körpergröße oder Zeit sein.

In vielen Kontexten gibt es nun eine Beziehung zwischen zwei (oder mehreren) dieser Größen.

Wir wollen uns hier zwei ganz typische Beziehungen anschauen:
Die proportionale und die antiproportionale Zuordnung.

Beginnen wir mit einem simplen Alltagsbeispiel:

Zwei Schokoladentafeln kosten drei Euro. Wie viel kosten dann vier Tafeln? Wie viel kosten fünf Tafeln?

Hier werden die zwei Größen Anzahl (der Tafeln) und Preis (in Euro) zueinander zugeordnet.

Rein aus deiner Alltagsintuition würdest Du vermutlich direkt sagen können, dass vier Tafeln sechs Euro kosten… schließlich muss man für die doppelte Anzahl auch doppelt so viel bezahlen.

Doch wie sieht es mit den fünf Tafeln aus?

Hier hast Du in der Schule bereits recht früh ein einfaches Verfahren gelernt – den sogenannten Dreisatz 🙂
Beim Dreisatz rechnest Du über einen Zwischenschritt die eine dir unbekannte Größe aus.

Der übliche Aufbau für den Dreisatz ist, dass Du von einer Größe beide Werte kennst und für eine zweite Größe aber nur einer der Werte bekannt ist.

So könntest Du z.B. wissen, dass 15 Orangen zusammen 4,50 Euro kosten. Du weißt jedoch nicht, was 4 Orangen kosten würden.
Die Größe, bei der dir beide Werte bekannt sind, ist hier die Anzahl der Orangen (15 und 4).
Für den Preis der Orange kennst Du jedoch nur den Wert, der zu der Anzahl von 15 Orangen gehört (4,50 €).

Was Du herausfinden sollst, ist der Preis, der zu den 4 Orangen gehört.

Der Zwischenschritt ist hierbei, dass Du die Größe, von der beide Werte bekannt sind, über den Wert 1 rechnest.

Das bedeutet: Um von der 15 zur 1 zu kommen, musst Du durch 15 teilen. Um dann von der 1 zur 4 zu kommen, musst Du mit 4 multiplizieren.

Genau diese beiden Rechnungen (die immer Division und Multiplikation sind!) wenden wir nun auf die andere Größe an.

Wir dividieren also unseren bekannten Wert 4,50 € durch 15:
$$ 4,50~€ div 15 = 0,30~€ $$
Um diesen dann mit 4 zu multiplizieren:
$$ 0,30~€ cdot 4 = 1,20~€ $$
Vier Orangen kosten somit 1,20 Euro.

Tipp:
Durch den Zwischenschritt wissen wir im Übrigen auch, was eine Orange kostet.
Damit können wir uns für weitere gesuchte Werte die Hälfte der Arbeit sparen.

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Proportionale Zuordnungen

Werden zwei Größen so zueinander zugeordnet, dass der Dreisatz wie oben Sinn ergibt, so nennen wir dies eine proportionale Zuordnung.

Doch wann ist das der Fall und wie lässt sich dieses Verhalten vorhersagen?

Eine Gleichung der zwei Größen x und y ist genau dann proportional, wenn gilt:

$$ x = c cdot y $$

Dabei ist c eine Konstante, sprich ein Wert, der sich nicht ändert.

Das könnte beispielsweise der Preis einer Orange sein. Dann wäre y die Anzahl der Orangen, während x dem Gesamtpreis entspräche.

Diese Proportionalitätskonstante, bzw. den sogenannten Proportionalitätsfaktor, findest Du heraus, indem Du die beiden zusammengehörenden Größen durcheinander dividierst.

$$ frac{x}{y} = c $$

Ein Beispiel:
10 Liter enthalten 2500 Gramm Fett, 20 Liter enthalten 5000 Gramm Fett.

Hier erhalten wir den Proportionalitätsfaktor, indem wir die beiden Größen durcheinander dividieren.

Wenn der Proportionalitätsfaktor bei beiden Werten identisch ist, ist das ein möglicher Hinweis darauf, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.
$$ frac{2500~g}{10~l} = 250~frac{g}{l} $$
$$ frac{5000~g}{20~l} = 250~frac{g}{l} $$

Bei beiden Rechnungen erhalten wir einen Proportionalitätsfaktor von 250 Gramm pro Liter.

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Antiproportionale Zuordnungen

Manchmal scheint es jedoch Zuordnungen zu geben, die dem oben beschriebenen Muster widersprechen.

Wenn wir uns ein Szenario anschauen, in dem zwei Maler*innen 20 Stunden für das Streichen eines Hauses brauchen, so ist es unlogisch, dass vier Maler*innen 40 Stunden benötigen würden.
Im Gegenteil, sie würden ja nicht doppelt so lange, sondern nur halb so lange brauchen.

Diese Art der Zuordnung, bei dem eine Größe um einen Faktor zunimmt, während die andere Größe durch diesen Faktor dividiert wird, nennt sich antiproportionale Zuordnung

Im Dreisatz drehen sich hierbei einfach die Rechenoperationen für die jeweils andere Größe um.
Aus Multiplikation wird Division und umgekehrt.

Die vier Maler*innen würden somit 10 Stunden brauchen.

Die Anzahl der Maler*innen wurde mit zwei multipliziert, somit wird die Stundenzahl durch zwei dividiert.

In einer Gleichung sähe das folgendermaßen aus:

$$ x = c cdot frac{1}{y} $$

Die Proportionalitätskonstante ergibt sich somit bei der antiproportionalen Zuordnung durch Multiplikation der beiden Größen.

$$ c = x cdot y $$

In unserem Beispiel würde sich hier ergeben:

$$ 2 cdot 20 = 40 $$

Die Einheit ist hier etwas komisch, denn sie wäre das Produkt aus Anzahl der Maler*innen und Stunden.

Hier könnte man sich als Interpretation gut vorstellen, dass es sich um den Arbeitsaufwand handelt, den ein*e Maler*in zu erledigen hat.
Diese*r kann nun auf mehrere Maler*innen aufgeteilt werden, was die Division erklärt.

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Anwendung an einer Gleichung

Das ganze Konzept der Zuordnung zweier Größen ist deshalb so wichtig, da es sich auf die Gleichungen und Gesetze der Naturwissenschaften direkt anwenden lässt.

In diesem Abschnitt soll eben jene praktische Anwendung am Beispiel der sogenannten “Idealen Gasgleichung” gezeigt werden.

Die Ideale Gasgleichung lautet:

$$ p cdot V = n cdot R cdot T $$

Die einzelnen Variablen bedeuten:
– p ist der Druck
– V ist das Volumen
– n ist die Stoffmenge
– T die Temperatur
– R ist die sogenannten universellen Gaskonstante (diese ist vom Konzept her übrigens nicht weit weg von den hier besprochenen Proportionalitätskonstanten).

Ohne jetzt viel Ahnung von idealen Gasen zu haben, sagt uns diese Gleichung trotzdem schon sehr viel, wenn wir unser Wissen über Zuordnungen anwenden!

Wenn wir keine chemischen Reaktionen haben, bleibt die Stoffmenge n konstant. Die Gaskonstante ist – oh Wunder – stets konstant.

Wir haben somit in einem physikalischen Kontext nur drei variable Größen.

Wenn jeweils eine dieser drei Größen konstant ist, haben wir zwei Größen, die über die Gasgleichung zueinander zugeordnet werden.
Die Szenarien mit konstanten Größen haben in der Physik spezielle Namen: isobar – Druck, isotherm – Temperatur , isochor – Volumen

Schauen wir uns einmal das Szenario an, in dem das Volumen konstant bleibt (isochor).

Formen wir die Gleichung nun so um, dass alle Konstanten auf der gleichen Seite stehen:
$$ p = frac{n cdot R cdot T}{V} $$

Wenn wir nun alle Konstanten zu einer einzigen zusammenfassen (c):
$$ p = T cdot c $$

Diese Form sollte dir nun bekannt vorkommen, denn es handelt sich hier um die Form einer proportionalen Zuordnung! 🙂

Merke dir:
Wenn Du den Druck verdoppelst, verdoppelt sich auch die Temperatur.
Wenn Du die Temperatur zehntelst, zehntelst Du auch den Druck.
Und diesen Zusammenhang der Größen kannst Du einfach an der Gleichung ablesen!

Als zweites Beispiel schauen wir uns das isotherme Szenario an. Hierbei ist die Temperatur konstant.

Die variablen Größen sind hierbei somit der Druck und das Volumen.

Auch hier stellen wir wieder die Gleichung um, sodass beide Größen auf unterschiedlichen Seiten stehen:
$$ p = frac{n cdot R cdot T}{V} $$

Wenn wir hier nun alle Konstanten zusammenfassen:
$$ p = c cdot frac{1}{V} $$

Diese Gleichung entspricht der Form einer antiproportionalen Zuordnung.

Das bedeutet, dass eine Verdopplung des Druckes, zu einer Halbierung des Volumens führt.

Zusammenfassend gesagt:

Merke dir:
– Wenn Du eine Gleichung hast, die nur aus Multiplikationen von Größen/Variablen besteht (und diese nur einmal vorkommen), kannst Du proportionales und antiproportionales Verhalten leicht vorhersagen.
– Stehen beide Größen auf unterschiedlichen Seiten der Gleichung, so sind diese proportional zueinander.
– Stehen zwei Größen auf der gleichen Seite der Gleichung, so sind diese antiproportional zueinander.

Achtung: Diese Zusammenfassung gilt wirklich nur für Gleichungen, die ausschließlich aus simplen Multiplikationen bestehen!
$$ x = y + z $$

Addition und Subtraktionen führen zu keinem (anti)proportionalen Zusammenhang.
$$ x cdot x = x^2 = y $$

Kommt eine Größe quadriert vor, so ist der Zusammenhang auch nicht mehr so simpel (aber noch relativ handhabbar! Siehe Fläche und Seitenlänge eines Quadrates).
$$ sin{x} = y cdot z $$

Alles Kompliziertere, wie Wurzeln, trigonometrische Funktionen, Logarithmen etc. ist ebenfalls ein komplizierterer Zusammenhang.
Informationen hierzu findest Du in den anderen Lektionen dieses eLearning-Kurses. 🙂

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