Prozentrechnung

Prozentrechnung

Prozentuale Veränderungen sind des Öfteren Thema in HAM-Nat-Aufgaben.
Ein solider Umgang mit Prozenten ist daher eine Grundvoraussetzung.

Doch hier kommt die gute Nachricht:
Wenn Du Brüche verstanden hast, dann bekommst Du die Prozentrechnung geschenkt!

Das große Geheimnis:
Das Prozentzeichen steht einfach für ein Hundertstel!

$$ % = frac{1}{100} $$

Tada, Lektion fertig!
Nun gut ein klein wenig mehr Kontext gibt es dann doch noch 🙂

Beginnen wir mit einem simplen Beispiel:

15 % von 80

$$ 15~% cdot 80 = 15 cdot frac{1}{100} cdot 80 $$

Wie wir es aus der Mathematik kennen: Wenn nichts dahinter steht, dann steht das für Multiplikation.
Und das Schöne an Multiplikation ist, dass sie kommutativ (und assoziativ) ist.
Das bedeutet, ich kann mir aussuchen, welche Zahlen ich zuerst multipliziere!

Geschickt wäre hier zum Beispiel:

$$ 15 cdot frac{80}{100} = 15 cdot frac{4}{5} = frac{4 cdot 15}{5} = frac{4 cdot 3}{1} = 12 $$

Du siehst, dass wenn Du Bruchrechnung beherrscht, die Prozentrechnung nicht groß schwieriger ist.
Durch die geschickte Wahl der Rechenreihenfolge lassen sich viele Aufgaben der Prozentrechnung stark vereinfachen.

Überprüfe dein Wissen in diesem Quiz: 

Prozentrechnung ist normalerweise multiplikativ zu deuten.
Wenn ich 50 % von 20 % nehme, dann habe erhalte ich 10 % und nicht -30 %.

Wenn wir uns das als Gleichung anschauen, ist dieser Umstand auch einfach zu sehen
(die Prozentsätze sind hier direkt als Bruch geschrieben):

$$ frac{50}{100} cdot frac{20}{100} = frac{1}{2} cdot frac{1}{5} = frac{1}{10} = frac{10}{100}$$

Somit ist die Antwort 10 %.

Vielleicht hat der letzte Rechenschritt Fragen in Dir hervorgerufen.
Häufig soll das Zahlenformat beibehalten werden. Wir müssen unsere Antwort also hier auf Hundertstel erweitern, um die Antwort als Prozentsatz angeben zu können.
Wie das geht, wurde sowohl in der Lektion über Brüche als auch beim Umformen von Zahlen besprochen.

Addition von Prozenten

An dieser Stelle soll kurz darauf hingewiesen werden, wann im Sachkontext Prozente ausnahmsweise addiert werden.

Aus dem Alltag kennst Du diesen Vorgang am wahrscheinlichsten von Wahlen:
Wenn der Stimmenanteil der Partei Katzenlovers von 10 % auf 15 % bei dieser Wahl angestiegen ist, dann hört man oft, dass die Partei fünf Prozentpunkte hinzugewonnen hat.
Die Endung -punkte deutet hierbei darauf hin, dass es sich hierbei um eine additive Deutung der Prozente handelt.

Eine weitere, etwas gemeinere, Möglichkeit ist es, wenn zwei zuvor getroffene Unterteilungen wieder zusammengefasst werden sollen. Und dann wird damit erst weiter gerechnet.

Beispiel:
In einem Eimer befinden sich 20 % rote Kugeln, 40 % blaue Kugeln und 40 % Würfel.
Insgesamt befinden sich 100 Objekte im Eimer.

Wie viele Kugeln befinden sich im Eimer?

Hierfür fassen wir die Anteile der jeweiligen farbigen Kugeln zusammen, bevor wir diese multiplizieren:

$$ (frac{20}{100} + frac{40}{100}) cdot 100 = 60 $$

Es sind also 60 Kugeln im Eimer und 40 Würfel.

-> Überlege bei Aufgaben also stets, ob hier zwei Anteile zusammengenommen werden sollen (Addition), oder ob ein Anteil eines Anteils gebildet werden soll (Multiplikation).

Zum Abschluss des Themas noch ein paar kleine Aufgaben 🙂

Wir würden uns sehr freuen, wenn Du uns ein Feedback zu diesem Abschnitt gibst 🙂

Klicke einfach auf “Start Test” und nimm an der kurzen Umfrage teil.
Vielen Dank!!!