Permutationen ohne Wiederholungen

Wie berechnest du nun die Anzahl der Permutationen (Anordnungen)? Hier hilft es häufig, Schritt für Schritt deine Plätze durchzugehen! Betrachten wir das Pferderennen mit 8 Pferden:

Den ersten Platz können 8 unterschiedliche Pferde belegen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es für den zweiten Platz nun noch 7 mögliche Pferde, denn eines der Pferde ist ja bereits auf dem ersten Platz! Mathematisch bedeutet das, dass wir multiplizieren! Wenn du nun bis zum letzten Platz durchgehst stellst du fest, dass wir eine lange Reihe an Multiplikationen haben:

\( \text{Anzahl Permutationen}~\overset{\wedge}{=}~8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)

Da solche Reihen sehr lang werden können – stelle dir doch nur mal eine Top 100 Liste vor – gibt es eine Kurzschreibweise hierfür: Die Fakultät (eine Zahl mit Ausrufezeichen)

\( 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1~=~8!\)

Immer wenn du es mit einer Permutation zu tun hast, bei der alle Elemente (n) verschieden sind, kannst du die Anzahl der möglichen Permutationen einfach mit n! berechnen!

Wenn du einige Fakultäten mal im Taschenrechner berechnest wirst du feststellen, dass hier schnell sehr große Zahlen rauskommen. Einige sind schon so groß, dass der Taschenrechner sie nicht mehr darstellen kann. Bereits 70! führt bei viele Taschenrechnern zu einer Fehlermeldung. Bei sehr großen Fakultäten ist es daher auch O.k. das Ergebnis in dieser Schreibweise anzugeben.