Permutationen mit Wiederholungen 1

In die 8 Katzenhäuschen am Miau-See wollen 8 Katzen einziehen. 2 von Ihnen sind jedoch eineiige Zwillinge und lassen sich daher vom Vermieter nicht unterscheiden. Wie viele Möglichkeiten hat der Vermieter, die Katzen auf die Häuser zu verteilen?

Bei dieser Fragestellung handelt es sich offensichtlich erneut um die Frage nach der Anzahl der Permutationen. Hierbei stoßen wir jedoch auf ein Problem, da nicht jedes Element eindeutig unterscheidbar ist, bzw. mehrfach vorkommt. Wir können zunächst die Frage stellen, wie viele Möglichkeiten es gäbe, wenn die 8 Katzen alle unterscheidbar wären.

Wie vorhin gelernt gibt es 8! Permutationen. Stellen wir uns die Katzen der Einfachheit halber als farbige Bälle vor. 6 Bälle haben unterschiedliche Farben und 2 Bälle sind grün (die grünen Bälle stellen hierbei unsere Zwillingskatzen da).

Wenn wir die Bälle anordnen haben wir immer die Möglichkeit, die beiden grünen Bälle zu vertauschen, ohne dass es für unser Auge nach einer verschiedenen Anordnung aussieht. Wir haben uns also um den Faktor 2 „überzählt“.  Wenn wir alle möglichen Permutationen (wenn wir alles unterscheiden könnten) durch diesen Faktor teilen, erhalten wir die richtige Lösung! (Zur Kontrolle: 20160 Anordnungen)

Schieb keine Panik, wenn das jetzt etwas zu kompliziert war. Versuch es selbst an einem Beispiel nachzustellen. Ordne eine Menge an Objekten (z.B. Buntstifte, Nagellack, …) an, wovon zwei identisch sind.

Das Tolle ist, dass wir das verallgemeinern können! Wenn sich Elemente wiederholen, können wir durch die Permutationen der identischen Elemente teilen, um die korrekte Antwort zu erhalten.

Ein weiteres Beispiel wären die Anordnungen von 5 Bällen. 3 sind Rot, einer ist blau, einer ist gelb:
Um alle Bälle anzuordnen gibt es 5! Möglichkeiten (120). Um nur die roten Bälle untereinander anzuordnen gibt es 3!, also 6 Möglichkeiten. Für unsere Ausgangsfragestellung müssen wir diese nun nur noch durcheinander teilen:

\(\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20\)