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Geometrische Optik bzw. Strahlenoptik

Geometrische Optik

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Geometrischen Optik.
Schauen wir uns doch mal an, was wir hierunter verstehen 🙂

Im Wesentlichen geht es eigentlich um das Verhalten von Lichtstrahlen an unterschiedlichen Medien.
Ein Medium kann z.B. einfach nur Luft oder Wasser sein oder auch abgefahrene Sachen wie Linsen.

 


 

Fakten über Lichtstrahlen:
– Lichtstrahlen verlaufen gerade, so lange sie nicht daran gehindert werden
– Lichtstrahlen können sich kreuzen ohne sich sich gegenseitig zu beeinflussen
– Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts (der Strahlengang) kann umgekehrt werden

 


 

Nun kommen wir zu der besonderen Eigenschaften von Lichtstrahlen:
der Brechung bzw. Reflexion.

Die Begriffe sagen dir vielleicht erstmal nicht so viel.
Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass Du den Begriffen im Alltag schon begegnet bist.

Hast Du schon mal einen Strohhalm in ein Glas mit Wasser getaucht und dich gewundert, warum dieser auf einmal geknickt ist ?

Geknickter Strohhalm im Wasser

Oder beim obligatorischen Blick in den Spiegel nicht nur festgestellt , wie gut Du heute schon wieder aussiehst, sondern dir auch die Frage gestellt hast, wie dein Spiegelbild entsteht?

Für die Beantwortung dieser Fragen werden wir uns nun mit dem Begriff der Reflexion beschäftigen.

 


 

Reflexion

Stellen wir uns mal vor, dass ein Lichtstrahl auf einen Gegenstand geworfen wird.
Nun kann, je nach Art des Gegenstandes, ein Teil des Lichts zurückgeworfen bzw. reflektiert werden oder gar absorbiert werden.

Um genauere Aussagen über das Verhalten des Lichtstrahls an der Oberfläche des Gegenstands treffen zu können, definieren nun ein paar Begriffe:

Lot: Das Lot ist einfach eine Gerade, welche senkrecht auf einer anderen Gerade oder Ebene steht.
Deine Wasserflasche, die auf dem Schreibtisch steht, ist ein Lot auf der Ebene “Schreibtisch”.

Der Einfallswinkel α ist der Winkel zwischen dem Lot und dem Lichtstrahl, der auf die Oberfläche eintrifft.

Eine Grenzfläche (wird bei dem Abschnitt Brechung interessant) ist der Übergang zwischen zwei Medien wie zum Beispiel von in Luft in Wasser.

Der Ausfallswinkel α’ ist dementsprechend der Winkel zwischen dem Lot und dem zurückgeworfenen/ reflektierten Lichtstrahl.

Merke dir:
Für den Einfalls- und Ausfallswinkel kann es auch andere Variablen/ griechische Buchstaben geben oder die Bezeichnungen sind durchnummeriert.
Lass dich also bei den Aufgaben nicht verwirren!

 

 


Im folgenden Bild kannst Du dir anhand einer Skizze die Begriffe einprägen:

 


 


Brechung

Trifft nun ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche und man sagt, dass dieser “gebrochen” wird, so meint man eigentlich dass der Lichtstrahl seine Richtung ändert. Für die Bestimmung des Richtungswechsel existiert der Brechungsindex. Die Brechungsindizes \(\color{blue}{n_{M_{1}},n_{M_{2}}}\) geben an, wie schnell sich das Licht in dem jeweiligen Medium \(\color{blue}{M_{1},M_{2}\) ausbreitet. Wir können den Brechungsindex eines Mediums auch ganz als leicht als Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit in dem jeweiligen Medium bestimmen:
$$\color{blue}{n_{M}=\frac{c_{0}}{c_{M}}}$$
Hierbei steht \(\color{blue}{c_{0}}\) für die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Vakuum und \(\color{blue}{c_{M}}\) für Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in dem Medium \( \color {blue}{M}\)
Luft hat zum Beispiel einen Brechungsindex von ca. 1, d.h dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Luft einen ticken langsamer ist, als die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht im Vakuum. Hierbei bezeichnen wir das Medium mit dem höheren Brechungsindex als das optisch dichtere Medium.


Das Brechungsgesetz
Nun haben wir alle Zutaten zusammengesammelt, um das Brechungsgesetz zu definieren:

$$\color{blue}{ n_{M_{1}} \cdot sin(\alpha_{1})=n_{M_{2}} \cdot sin(\alpha_{2}) }$$

Denkst du dir jetzt: schöne Formel, aber was hat die Formel nun bitte mit der Richtung des Lichtstrahls zu tun?
Okay, stell dir mal vor, dass Du einen Lichtstrahl hast, welcher in einem bestimmten Winkel (Einfallswinkel) von Luft (Medium 1) auf Wasser (Medium 2) trifft. Dann kannst Du bereits die 3 Variablen \(\color{blue}{ n_{M_{1}},\alpha_{1}, n_{M_{2}}}\) durch die bekannten Werte ersetzen. Nun sind deine Mathe Skills gefragt, stellen wir nämlich die Formel nach dem Ausfallswinkel \(\alpha_{2}\) um, so erhalten wir die gesuchte Richtung des Lichtstrahls.
#Abbildung 7.2

Merke Dir:
Ein Lichtstrahl wird beim Übergang vom optisch dünneren Medium ins optisch dichtere Medium zum Lot hingebrochen wird und vom optisch dichteren in optisch dünneren vom Lot weggebrochen wird.


Reflexion c
Trifft ein Lichtstrahl auf den Grenzübergang von 2 Medien, welche unterschiedliche Brechungsindizes haben, so wird der Lichtstrahl reflektiert. Bei dieser Reflexion gilt das folgende Reflexionsgesetz.

Merke Dir:
Das Reflexionsgesetz sagt nun aus, dass bei einer Reflexion der Einfallswinkel genau so groß ist wie der Ausfallswinkel. Es gilt also:
$$\color{blue}{\alpha=\alpha^{\prime}}$$

Ist das Medium, auf den der Lichtstrahl trifft, ein bisschen transparent so wird ein Teil des Lichtstrahls gebrochen. Der Brechungswinkel wird dann wieder mit dem Brechungsgesetz ermittelt.


Totalreflexion
Kommen wir nun zu dem Phänomen der Totalreflexion. Die Totalreflexion ist ein Spezialfall der Reflexion. Hier wird ein Licht zu 100 % reflektiert. Die Totalreflexion kann nur auftreten, wenn ein Lichtstrahl von einem optisch dichteren Medium zu einem optisch dünnerem Medium gesendet wird. Bei diesem Vorgang kann es nämlich einen bestimmten Einfallswinkel (Grenzwinkel) geben, bei dem der gebrochene genau im rechten Winkel zum Lot gebrochen wird und daher in der Grenzfläche der beiden Medien verläuft. Ist der Einfallswinkel noch größer als der Grenzwinkel, so wird der Lichtstrahl in das optisch dichtere Medium zurück reflektiert.


Linsen
Linsen sind transparente Scheiben, von deren zwei Oberflächen wenigstens eine gekrümmt ist. Hierbei gibt es 2 Arten von Linsen: Sammellinsen und Zerstreuungslinsen.

Bei Sammellinsen (links in der Abb.) ist mindestens eine Oberfläche konvex, d.h. dass die Linse nach außen gewölbt ist, also in der Mitte ist sie dicker als am Rand. Wie der Name schon sagt, bündeln (sammeln ) die Sammellinsen die einfallenden Strahlen. Der Brennpunkt liegt hinter der Linse.

Bei Zerstreuungslinsen ist mindestens eine Oberfläche konkav, d.h. dass die Linse nach innen gewölbt ist. Hier sind die Linsen in der Mitte dünner ist als am Rand. Zerstreuungslinsen zerstreuen einfallender Lichtstrahlen, damit ist der Brennpunkt vor der Linse.

Ein wichtiger Begriff, wenn es um Linsen geht, ist die Brechkraft. Wenn Du Brillenträger bist, dann weißt du vielleicht was damit gemeint ist.
Alle Linsen haben einen Brennpunkt F. Die Brennweite f ist der Abstand zum Brennpunkt F. Nun können wir die Brechkraft D definieren.

 

 


Abbildungsgleichung

In dem Bild seht ihr einmal die wichtigsten Größen, die bei der Abbildungsgleichung und später auch bei der Vergrößerungsgleichung verwendet werden.

Wir führen nun die wichtige Abbildungsgleichung ein. Diese formalisiert den Zusammenhang der Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b.

Die Abbildungsgleichung (Linsengleichung) lautet dann:
#H5P mit
$$\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$

Ein kleines Rechenbeispiel:
Wir haben eine Sammellinse und möchten eine Wasserflasche auf einen Schirm scharf abbilden. Die Sammellinse hat eine eine Brennweite von f=0,10 m. Weiterhin soll der Abstand des Bildes zur Linse nur 20 cm sein. Nun möchten wir ganz gerne wissen, in welcher Entfernung von der Linse, wir unsere Wasserflasche aufstellen können, d.h. wir suchen nach der Gegenstandsweite. Um diese zu berechnen, können wir die Abbildungsgleichung verwenden.
Die Brennweite f= 0,10 m und die Bildweite b=0,2 m sind auch schon gegeben und wir müssen nur nach g umstellen.
$$\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}
=> \frac{1}{g}=\frac{1}{f}-\frac{1}{b} $$
$$ \frac{1}{g}=\frac{1}{0,1}-\frac{1}{0,2} =5$$
Nach obiger Rechnung ist $$g=\frac{1}{5}=0,20 m$$

Die Abbildungsgleichung stellt nur einen Zusammenhang zwischen Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite her. Möchten wir eine Aussage über die Gegenstandsgröße G oder Bildgröße B treffen bzw. inwieweit unser Bild vergrößert wurde, brauchen wir die “Vergrößerungsgleichung”. Haben wir die Bildgröße und Gegenstandsgröße gegeben, so können wir direkt die Vergrößerung berechnen. Ansonsten kann es auch mal gut sein, dass die Formel nach einer fehlenden Größe umgestellt werden muss.

#H5P
$$ V =\frac{B}{G}=\frac{b}{g}$$

Führen wir das Beispiel von oben fort und bestimmen nun die Bildgröße unserer 0,8 m großen Wasserflasche (wir trinken nun mal viel!) Dazu setzen wir die gegeben Werte : Gegenstandsgröße = 0, 8 m, Bildweite b= 0,2 m und die ermittelte Gegenstandsweite g= 0,2 m in die Vergrößerungsgleichung und stellen diese nach B um. Das ergibt:

$$ \frac{B}{G}=\frac{b}{g} => \frac{b}{g} *G $$

Mit unseren Werten sieht’s folgendermaßen aus:
$$ \frac{B}{0,8}=\frac{0,2}{0,2} => 1 *0,8=0,8 m $$
Damit ist das Bild ebenfalls 0,8 m groß und das heißt, dass keine Vergößerung stattgefunden hat.

Bei bestimmten Werten von Bildweite b oder Gegenstandsweite g kann man gezielt eine Aussage über die Vergrößerung bzw. das entstehende Bild treffen. Hierzu solltet ihr unbedingt die untenstehende Tabelle auswendig lernen.

 

 

Haben wir beispielsweise gegeben, dass ein Gegenstand durch eine Sammellinse abgebildet wird und die Bildweite b größer als zweimal die Brennweite f ist, können in der Tabelle, genauer gesagt, mit der 3. Zeile der Tabelle ablesen, dass das Bild reell und größer als der Gegenstand ist. Außerdem ist das Bild invertiert, d.h. es steht einfach auf dem Kopf.

Prisma
Ein Prisma ist ein dreieckiger Glaskörper wie in Abb.7.8. Das Licht, das in ein Prisma eindringt, wird zweimal gebrochen. Für den genauen Strahlengang schaue dir gerne die untenstehende Präsentation an.
#h5p Präsentation mit dem Strahlengang

Fällt “weißes” Licht auf ein Prisma, so wird dieses in seine Spektralfarben zerlegt.

Das kann man sich folgendermaßen erklären: weißes Licht setzt sich aus unterschiedlichen Wellenlängen (violettes Licht ca 400nm bis hin zum roten Licht ca.750nm) zusammen. Die Wellenlängen bestimmen wiederum die jeweilige Ausbreitungsgeschwindigkeit der einzelnen Farben. Die Ausbreitungsrichtung bestimmt den Brechungsindex und dieser durch das Brechungsgesetz vor, wie stark der die jeweilige Farbe gebrochen wird.

Die oben beschriebene Abhängigkeit des Brechungsindex n von der Wellenlänge bzw. Frequenz nennt man auch Dispersion. Man spricht von normaler Dispersion wenn der Brechungsindex mit zunehmender Wellenlänge kleiner wird, wie es zum Beispiel beim blauen Licht der Fall ist.

 

 

 

 

Überprüfe dein Wissen mit diesem Quiz:

Überschrift letztes Quiz pink:

Zum Abschluss des Themas noch ein paar kleine Aufgaben 🙂